Question

2．求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．

Answer 1

分析 延长DE至F，使EF=DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．

解答 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的中点．
证明：延长DE至F，使EF=DE，连接CF
∵E是AC中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=EF}\\{∠AED=∠CEF}\\{AE=CE}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD=CF，∠ADE=∠F
∴BD∥CF，
∵AD=BD，
∴BD=CF
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC，DF=BC，
∴DE∥CB，DE=$\frac{1}{2}$BC．

点评 本题考查了三角形的中位线定理的证明，用到的知识点有全等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质．