Question

17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F．连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．
（1）求证：FC=GC；
（2）求证：四边形EDBG是矩形．

Answer 1

分析 （1）证明△AOD≌△EOF，得到∠ODF=∠OFD，根据OD∥BC，得到∠FGC=∠ODF，得到∠CFG=∠FGC，得到答案；
（2）证明∠EGC=∠EFC=90°，根据三个角是直角是四边形是矩形得到答案．

解答 证明（1）∵AC为直径，∴∠ABC=90°，
∵OD∥BC，∴∠ADO=∠ABC=90°，
在△AOD和△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠EOF}\\{∠ADO=∠EFO}\\{OA=OE}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△EOF，
∴OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵OD∥BC，∴∠FGC=∠ODF，
又∠GFC=∠OFD，
∴∠CFG=∠FGC，
∴FC=GC；
（2）连接AE、EC，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
∵OD=OF，∴∠ODF=∠OFD，
∴∠OAE=∠OFD，
∴AE∥DG，
∵AC为直径，∴∠AEC=90°，又CF=CG，
∴CE是FG的垂直平分线，
∴△EFC≌△EGC，
∴∠EGC=∠EFC=90°，
又∠EDB=90°，∠ABC=90°，
∴四边形EDBG是矩形．

点评 本题考查的是三角形的外接圆、矩形的判定，正确运用直径所对的圆周角是直角、半径相等证明三角形全等是解题的关键，解答时，注意构造直径所对的圆周角．