Question

11．如图，在以点O为原点的直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+1的图象与x轴交于A，与y轴交于点B，点C在第二象限内且为直线AB上一点，OC=$\frac{1}{2}$AB，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，则k的值为-$\frac{11}{50}$．

Answer 1

分析 首先求出点A、B的坐标，然后由勾股定理求得AB，设∠BAO=θ，则sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，过点O作Rt△AOB斜边上的高OE，斜边上的中线OF，通过解直角三角形求得AE=OA•cosθ=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，根据三角形中线的性质求得OF=$\frac{1}{2}$AB，从而求得OC=OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，进而求得AC=AE+EC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3\sqrt{5}}{10}$=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$．过点C作CG⊥x轴于点G，则CG=AC•sinθ=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{11}{10}$，AG=AC•cosθ=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{11}{5}$，从而求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得．

解答 解：如图，在y=-$\frac{1}{2}$x+1中，令y=0，则x=2；令x=0，得y=1，
∴A（2，0），B（0，1）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{5}$．
设∠BAO=θ，则sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
过点O作Rt△AOB斜边上的高OE，斜边上的中线OF，则AE=OA•cosθ=2×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，OF=$\frac{1}{2}$AB，
∵OC=$\frac{1}{2}$AB，
∴OC=OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴EF=AE-AF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．
∵OC=OF，OE⊥CF，
∴EC=EF=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴AC=AE+EC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3\sqrt{5}}{10}$=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$．
过点C作CG⊥x轴于点G，则CG=AC•sinθ=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{11}{10}$，
AG=AC•cosθ=$\frac{11\sqrt{5}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{11}{5}$，
∴OG=AG-OA=$\frac{11}{5}$-2=$\frac{1}{5}$．
∴C（-$\frac{1}{5}$，$\frac{11}{10}$）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C，
∴k=-$\frac{1}{5}$×$\frac{11}{10}$=-$\frac{11}{50}$，
故答案为-$\frac{11}{50}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，其知识点：勾股定理的应用，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，待定系数法求解析式等．