Question

19．（1）已知一元二次方程x²-4x+m=0有唯一实数根，求（$\frac{1}{m+2}$-$\frac{1}{m-2}$）÷$\frac{m}{{m}^{2}-4}$的值；
（2）小明是这样完成“作∠MON的平分线”这项作业的：
“如图，①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于点A，B；②分别作线段OA，OB的垂直平分线l₁，l₂（垂足分别记为C，D），记l₁与l₂的交点为P；③作射线OP，则射线OP为∠MON的平分线．”
你认为小明的作法正确吗？如果正确，请你给证明，如果不正确，请指出错在哪里．

Answer 1

分析 （1）首先利用根的判别式得出m的值，进而化简分式求出即可；
（2）利用全等三角形的判定方法得出Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），进而得出射线OP是∠MON的平分线．

解答 解：（1）∵一元二次方程x²-4x+m=0有唯一实数根，
∴（-4）²-4×1×m=0，
∴m=4，
（$\frac{1}{m+2}$-$\frac{1}{m-2}$）÷$\frac{m}{{m}^{2}-4}$
=$\frac{-4}{（m+2）（m-2）}$×$\frac{（m-2）（m+2）}{m}$
=-$\frac{4}{m}$，
将m=4代入原式得：原式=-1；

（2）小明的作法正确．
理由：由作法知：OA=OB，
又∵l₁，l₂垂分别是OA，OB的垂直平分线，垂足分别是C，D，
∴OC=OD，∠PCO=∠PDO=90°，
在Rt△PCO和Rt△PDO中
∵$\left\{\begin{array}{l}{OC=OD}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴Rt△PCO≌Rt△PDO（HL），
∴∠POC=∠POD，
即射线OP是∠MON的平分线．

点评 此题主要考查了基本作图以及分式的化简求值和全等三角形的判定与性质等知识，正确得出Rt△PCO≌Rt△PDO是解题关键．