Question

19．如图，一次函数y=-2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，求：
（1）A、B、C三点的坐标．
（2）过B、C两点直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）过点C作CD⊥x轴于D，如图，根据坐标轴上点的坐标特征求可确定A点和B点坐标，得到OA=2，OB=4，再利用“AAS”证明△ABO≌△CAD，得到AD=OB=4，CD=OA=2，于是得到C点坐标为（6，2）；
（2）利用待定系数法求直线BC的解析式．

解答 解：（1）过点C作CD⊥x轴于D，如图，
当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，则A（2，0），OA=2，
当x=0时，y=-2x+4=4，则B（0，4），OB=4，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
在△ABO和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CDA}\\{∠ABO=∠CAD}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=4，CD=OA=2，
∴C点坐标为（6，2）；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，4），C（6，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了待定系数法求一次函数解析式．