Question

如图，抛物线c₁：y=（x-1）²-

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4

的顶点为A，与y轴的负半轴交于B点，将抛物线c₁向下平移与直线AB交于C，D两点，若BC+AD=AB，求平移后抛物线的解析式．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：几何变换

分析：先确定A的坐标为（1，-

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4

），B点坐标为（0，-

9

4

），再利用两点间的距离公式得到AB=

2

，CD=2AB=2

2

，接着利用待定系数求出直线AB的解析式为y=-x-

9

4

，则直线AB与y轴的夹角为45°，作CE∥y轴，DE∥x轴，两直线相交于E，如图，则△CDE为等腰直角三角形，设平移后的抛物线解析式为y=（x-1）²-

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4

-t，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用方程组

y=-x- 9 4 y=(x-1)2- 13 4 -t

得到（x-1）²-

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4

-t=-x-

9

4

，整理x²-x-t=0，则|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

12+4t

，由于CD=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

•

(x1-x2)2

=2

2

，所以1+4t=4，解得t=

3

4

，于是可得到平移后的抛物线解析式为y=（x-1）²-4．

解答：解：∵抛物线c₁的解析式为y=（x-1）²-

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4

，
∴顶点A的坐标为（1，-

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4

），
∵当x=0时y=（x-1）²-

13

4

1-

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4

=-

9

4

，
∴B点坐标为（0，-

9

4

），
∴AB=

12+(- 13 4 + 9 4 )2

=

2

，
∵BC+AD=AB，
∴CD=2AB=2

2

，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（1，-

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4

），B（0，-

9

4

）代入得

k+b=- 13 4 b=- 9 4

，解得

k=-1 b=- 9 4

，
∴直线AB的解析式为y=-x-

9

4

，
∴直线AB与y轴的夹角为45°，
作CE∥y轴，DE∥x轴，两直线相交于E，如图，则△CDE为等腰直角三角形，
设平移后的抛物线解析式为y=（x-1）²-

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4

-t，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∵C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）是方程组

y=-x- 9 4 y=(x-1)2- 13 4 -t

的解，
∴x₁和x₂是方程（x-1）²-

13

4

-t=-x-

9

4

的解，
整理得x²-x-t=0，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

12+4t

，
而CD=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2

•

(x1-x2)2

=2

2

，
∴1+4t=4，解得t=

3

4

，
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-1）²-

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4

-

3

4

=（x-1）²-4．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．