Question

如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD．
（1）求证：∠1+∠2=90°．
（2）如图2，若∠ABD的平分线与CD的延长经交于点F，且∠F=60°，求∠ABC的度数．

Answer 1

考点：平行线的性质,三角形内角和定理

专题：

分析：（1）由AD∥BC，DE平分∠ADB，得∠ADC+∠BCD=180，∠BDC=∠BCD，得出∠1+∠2=90°；
（2）由DE平分∠ADB，CD平分∠ABD，四边形ABCD中，AD∥BC，∠F=60°，得出∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=60°．

解答：（1）证明：AD∥BC，
∠ADC+∠BCD=180，
∵DE平分∠ADB，
∠BDC=∠BCD，
∴∠ADE=∠EDB，
∠BDC=∠BCD，
∵∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠EDB+∠BDC=90°，
∴∠1+∠2=90°．

（2）解：∵∠FBD+∠BDE=90°-∠F=30°，DE平分∠ADB，BF平分∠ABD，
∴∠ADB+∠ABD=2（∠FBD+∠BDE）=60°，
又∵四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠ADB，即∠ABC=60°；

点评：本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递．