Question

如图，抛物线y=（x-1）²-4的图象与x轴交于的A、B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．
（1）求△ABD的面积；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件的点P的坐标；
（4）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标；
（5）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）求得A、B、D点的坐标即可求得△ABD的面积；
（2）求得A、B、C点的坐标即可求得△ABD的面积；
（3）设点P的坐标为（x₀，y₀），由△ABP的面积为4得到

1

2

AB•|y₀|=4，从而求得y₀=±2，即（x₀-1）²-4=±2，求得x的值后即可求得点P的坐标；
（4）设点P的坐标为（x₀，y₀），由△ABP的面积为8得到

1

2

AB•|y₀|=8，从而求得y₀=±4，即（x₀-1）²-4=±4，求得x的值后即可求得点P的坐标；
（5）设点P的坐标为（x₀，y₀），由△ABP的面积为10得到

1

2

AB•|y₀|=5，从而求得y₀=±5，即（x₀-1）²-4=±5，求得x的值后即可求得点P的坐标；

解答：解：令y=0，
即（x-1）²-4=0，
解得x=3或x=-1，
知A（-1，0），B（3，0），
即AB=4，
令x=0得：y=-3，
知：D（0，-3），
故S_△ABD=

1

2

AB•OD=

1

2

×4×3=6；

（2）由y=（x-1）²-4知顶点C的坐标为（1，-4），
故S_△ABC=

1

2

×4×4=8；

（3）设点P的坐标为（x₀，y₀），
又由△ABP的面积为4，
知

1

2

AB•|y₀|=4，
即

1

2

×4×|y₀|=4，
即|y₀|=2，
即y₀=±2，
即（x₀-1）²-4=±2
解得x=1+

2

或x=1-

2

或x=1+

6

或x=1-

6

．
即P（1+

2

，-2）或P（1-

2

，-2）或（1+

6

，-2）或（1-

6

，-2）；

（4）由△ABP的面积为8，
知

1

2

AB•|y₀|=8，
即

1

2

×4×|y₀|=8，
即|y₀|=4，
即y₀=±4，
即（x₀-1）²-4=±4
解得x=1+2

2

或x=1-2

2

或x=1．
即P（1+2

2

，-2）或P（1-2

2

，-2）或（1，-2）；

（5）由△ABP的面积为10，
知

1

2

AB•|y₀|=10，
即

1

2

×4×|y₀|=10，
即|y₀|=5，
即y₀=±5，
即（x₀-1）²-4=±5
解得x=3或x=-3．
即P（3，-2）或P（-3，-2）；

点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是求得抛物线与坐标轴的交点坐标，后三个题目解题方法几乎一致，只是数据不同，难度中等偏上．