Question

【题目】已知函数（m为常数）．

（1）试判断该函数的图象与x轴的公共点的个数；

（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上；

（3）若直线y=x与二次函数图象交于A、B两点，当﹣4≤m≤2时，求线段AB的最大值和最小值。

Answer 1

【答案】（1）2；（2）详见解析；（3）当m=0时，=，当m=-4时，=8 .

【解析】试题分析：（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；

（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；

（3）联立方程有：得：x2-(m-4）x-2m=0 ，根据根与系数的关系求出(x1-x2)2==m2+16，解等腰直角三角形可得=，然后讨论m的取值，求出线段AB的最大值和最小值。

解：(1)∵△=(m3)2+8m=(m+1)2+8>0，

则该函数图象与x轴的公共点的个数为2个，

（2）y=-x2+（m-3）x+2m

=-（x- ）2+

把x=代入y=x2+4x+6=（x+2）2+2

y=（+2）2+2=+2

=

则不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y=x2+4x+6的图像上。

（3）设直线y=x与y=-x2+（m-3）x+2m的交点为A（x1，y1）B（x2，y2）,联立方程有：

得：x2-(m-4）x-2m=0

∴x1 + x2=m-4,x1x2=-2m

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2

=(m-4）2-4(-2m)

=m2+16

（也可用求根公式求得该式）

∴=

∵﹣4≤m≤2

∴当m=0时，=，

当m=-4时，=8