Question

19．如图，点O为锐角△ABC的外心，点D为劣弧AB的中点，若∠BAC=α，∠ABC=β，且β＞α，则∠DCO=（　　）

• A． $\frac{β-α}{2}$
• B． $\frac{α-β}{3}$
• C． $\frac{β+α}{3}$
• D． $\frac{β+α}{4}$

Answer 1

分析 连接OD、AD，由圆周角定理和已知条件得出∠BAD=∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠COD=2∠DAC=∠ACB+2α=180°+α-β，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结果．

解答 解：连接OD、AD，如图所示
∵点D为劣弧AB的中点，
∴$\widehat{AD}=\widehat{BD}$，
∴∠BAD=∠BCD=∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠COD=2∠DAC=∠ACB+2α=180°-α-β=180°+α-β，
∵OC=OD，
∴∠DCO=∠ODC=$\frac{1}{2}$（180°-180°-α+β）=$\frac{β-α}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质；熟练掌握圆周角定理，弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键．