Question

【题目】如图，在△ABC中，AE为∠BAC的角平分线，点D为BC的中点，DE⊥BC交AE于点E，EG⊥AC于点G．

（1）求证： AB+AC=2AG．

（2）若BC=8cm，AG=5cm，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）18cm

【解析】

(1)连接BE、EC,只要证明Rt△BFE≌Rt△CGE，得BF=CG,再证明Rt△AFE≌Rt△AGE得：AF=AG，根据线段和差定义即可解决.

（2由AG=5cm可得AB+AC=10cm即可得出△ABC的周长.

(1)延长AB至点M，过点E作EF⊥BM于点F

∵AE平分∠BAC

EG⊥AC于点G

∴EG=EF,∠EFB=∠EGC=90°

连接BE，EC

∵点D是BC的中点，DE⊥BC

∴BE=EC

在Rt△BFE与Rt△CGE中

∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL）

∴BF=GC

∵AB+AC=AB+AG+GC

∴AB+AC =AB+BF+AG

=AF+AG

在Rt△AFE与Rt△AGE中

∴Rt△AFE≌Rt△AGE(HL）

∴AF=AG

∴AB+AC=2AG

(2)∵AG=5cm, AB+AC=2AG

∴AB+AC=10cm

又∵BC=8cm

∴△ABC的周长为AB+AC+BC=8+10=18cm．