Question

【题目】如图，AD是的切线，切点为A，AB是的弦，过点B作，交于点C，连接AC，过点C作，交AD于点D，连接AO并延长AO交BC于点M，交于点E，交过点C的直线于点P，且．

求证：；

判断直线PC与的位置关系，并说明理由；

若，，求PC的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）与圆O相切，理由见解析.（3）

【解析】分析：（1）由AD是⊙O的切线，BC∥AD，易得AO⊥BC，然后由垂径定理求得，继而证得结论；

（2）过C点作直径CF，连接FB，由CF为直径得∠F+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠F，∠BCP=∠ACD，所以∠F=∠BCP，于是∠BCP+∠BCF=90°，然后根据切线的判断得到结论；

（3）根据切线的性质得到OA⊥AD，而BC∥AD，则AM⊥BC，根据垂径定理求得BM与CM的长，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6，设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=6-r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r的值即可．

详解：证明：是的切线，

，

，

，

，

；

与圆O相切，理由为：

解：过C点作直径CF，连接FB，如图，

为直径，

，即，

，

，

，．

，

，即，

，

与圆O相切；

解：是的切线，切点为A

，

，

，

，

，

在中，，

设的半径为r，则，，

在中，，即，

解得：，

，，

，

，

∽，

：：FB，

，

．