Question

5．当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，$\frac{m}{n}$）为“友谊点”．已知点A（0，5）与点M都在直线y=-x+b上，点B，C是“友谊点”，且点B在线段AM上．
（1）点B的坐标为（3，2）；
（2）若MC=$\sqrt{3}$，AM=4$\sqrt{2}$，则△MBC的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由m+n=mn变式为$\frac{m}{n}$=m-1，可知P（m，m-1），所以在直线y=x-1上，点A（0，5）在直线y=-x+b上，求得直线AM：y=-x+5，进而求得B（3，2）；
（2）根据直线平行的性质从而证得直线AM与直线y=x-1垂直，然后根据勾股定理求得BC的长，从而求得三角形的面积．

解答 解：（1）∵m+n=mn且m，n是正实数，
∴$\frac{m}{n}$+1=m，即$\frac{m}{n}$=m-1，
∴P（m，m-1），
即“友谊点”B在直线y=x-1上，
∵点A（0，5）在直线y=-x+b上，
∴b=5，
∴y=-x+5，
∵“友谊点”B在直线y=-x+5上，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴B（3，2）；
故答案为（3，2）．
（2）∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=-x，而直线y=x-1与直线y=x平行，直线y=-x+5与直线y=-x平行，
∴直线AM与直线y=x-1垂直，
∵点B是直线y=x-1与直线AM的交点，
∴垂足是点B，
∵点C是“友谊点”，
∴点C在直线y=x-1上，
∴△MBC是直角三角形，
∵B（3，2），A（0，5），
∴AB=3$\sqrt{2}$，
∵AM=4$\sqrt{2}$，
∴BM=$\sqrt{2}$，
又∵CM=$\sqrt{3}$，
∴BC=1，
∴S_△MBC=$\frac{1}{2}$BM•BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．