Question

3．如图，△ABC是等边三角形，P是AC边上任意一点（与A、C两点不重合），Q是CB延长线上一点，且始终满足条件BQ=AP，过P作PE∥BC交AB于点E，连接PQ交AB于D．
（1）求证：△PED≌△QBD；
（2）当PQ⊥AC时，猜想并写出EP与QC所满足的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，可得∠AEP=∠ABC，∠EPD=∠Q，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，证得PE=BQ，由直角三角形的性质得到PC=$\frac{1}{2}$CQ，根据线段的和差，可得答案．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵PE∥BC，
∴∠AEP=∠APE=∠ABC=∠ACB=60°，
∴AP=PE，
∵AP=BQ，
∴PE=BQ，
∵PE∥BQ，
∴∠EPD=∠DQB，∠PED=∠QBD，
在△PED与△QBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EPD=∠DQB}\\{PE=BQ}\\{∠PED=∠QBD}\end{array}\right.$，
∴△PED≌△QBD；

（2）∵PQ⊥AC，∠C=60°，
∴∠PQC=30°，
∴PC=$\frac{1}{2}$CQ，
由（1）证得PE=BQ，
∴AC-AP=BC-PE=$\frac{1}{2}$（PE+BC），
∴BC-PE=$\frac{1}{2}$FE$+\frac{1}{2}$BC，
∴$PE=\frac{1}{3}$BC，
∴$PE=\frac{1}{4}$CQ．

点评 题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，线段中点的性质，能证得PC=$\frac{1}{2}$CQ是解题的关键．