Question

10．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．连结CF
（1）求证：CF∥BD
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质得到AB=BF=CD，∠BFD=∠BCD=∠A=90°，推出点B，F，C，D四点共圆，得到∠BDE=∠DFC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．

解答 解：（1）∵将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，
∵AB=BF=CD，∠BFD=∠BCD=∠A=90°，
∴点B，F，C，D四点共圆，
∵BF=CD，
∴$\widehat{BF}$=$\widehat{CD}$，
∴∠BDE=∠DFC，
∴CF∥BD；

（2）在Rt△BCD中，
∵CD=2，∠ADB=∠DBC=30°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ECD中，
∵CD=2，∠EDC=30°，
∴DE=2EC，
∴（2EC）²-EC²=CD²，
∴CE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=BC-EC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质、等角对等边、平行线的性质以及勾股定理的综合运用，熟练的运用折叠的性质是解决本题的关键．