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【题目】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.

(1)求∠F的度数;
(2)若CD=2,求DF的长.

【答案】
(1)解:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=60°.
∵DE∥AB,
∴∠EDC=∠B=60°.
∵EF⊥DE,
∴∠DEF=90°.
∴∠F=90°-∠EDC=30° 。
(2)解:∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,
∴∠DEC=60°.
∴△EDC是等边三角形.
∴DE=DC=2.
∵∠DEF=90°,∠F=30°,
∴DF=2DE=4 。
【解析】(1)根据等边三角形的性质得出∠B=60°,根据二直线平行同位角相等得出∠EDC=∠B=60°,根据垂直的定义得出∠DEF=90°,从而根据直角三角形的两锐角互余得出∠F=90°-∠EDC=30° ;
(2)根据三角形的内角和得出∠DEC=60°,根据三内角相等的三角形是等边三角形得出△EDC是等边三角形,根据等边三角形三边相等得出DE=DC=2,根据含30°的直角三角形的边之间的关系得出DF=2DE=4 。

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【特例探究】

(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a=  ,b=  

如图2,当∠PAB=30°,c=2时,a=  ,b=  

【归纳证明】

(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图3证明你的结论.

【拓展证明】

(3)如图4,ABCD中,E、F分别是AD、BC的三等分点,且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF与BE相交点G,AD=3,AB=3,求AF的长.

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①分别以点D,E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两弧交于F;
②作射线BF,交边AC于点H;
③以B为圆心,BK长为半径作弧,交直线AC于点D和E;
④取一点K,使K和B在AC的两侧;
所以,BH就是所求作的高.其中顺序正确的作图步骤是( )

A.①②③④
B.④③②①
C.②④③①
D.④③①②

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