Question

【题目】观察发现：如图（1），是的外接圆，点是边上的一点，且是等边三角形．与交于点，以为圆心、为半径的圆交于点，连接．

（1）_____；

（2）线段、有何大小关系？证明你的猜想．

拓展应用：如图（2），是等边三角形，点是延长线上的一点．点是的外接圆圆心，与相交于点．如果等边三角形的边长为2,请直接写出的最小值和此时的度数．

Answer 1

【答案】（1）120°;（2）见解析；（3）拓展应用：的最小值为，此时.

【解析】

（1）根据△ABC是等边三角形，可得∠ACB=60°，根据圆周角定理可得∠AOD的度数.（2）根据内角和定理和等边三角形的性质可得，进而得到，根据边角边对应相等可得，则.

拓展应用：以为圆心，以长为半径作圆，交于，连结，则．当时最小，时，.

解：观察发现：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠AOD=2∠ACB=120°

故答案为120°．

（2）结论：AE=CF．

理由如下：∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

拓展应用：以为圆心，以长为半径作圆，交于，连结，则由以上结论可得：．

当时最小，，

∵，，

∴

∴，

∴，

∴的最小值为，此时．