【题目】如图,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.
(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?
(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;
(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.
【答案】(1)四边形APQD为平行四边形;(2)OA=OP,OA⊥OP;(3) 或,当x=2时,y有最大值为2.
【解析】
试题(1)根据平移的性质,可得PQ,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,可得答案;
(2)根据正方形的性质,平移的性质,可得PQ与AB的关系,根据等腰直角三角形的判定与性质,可得∠PQO,根据全等三角形的判定与性质,可得AO与OP的数量关系,根据余角的性质,可得AO与OP的位置关系;
(3)根据等腰直角三角形的性质,可得OE的长,根据三角形的面积公式,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得到答案.
试题解析:
(1)四边形APQD为平行四边形.
(2)OA=OP,OA⊥OP.理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°.
∵OQ⊥BD,∴∠PQO=45°,
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO,∴OB=OQ,
∴△AOB≌△OPQ(SAS).
∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,
∴∠AOP=∠BOQ=90°,∴OA⊥OP.
(3)如解图,过点O作OE⊥BC于点E.
①当点P在点B右侧时,
BQ=x+2,OE=,
∴y=··x
=-.
又∵0≤x≤2,
∴当x=2时,y有最大值2.
②如解图②,当点P在点B左侧时,
BQ=2-x,OE=,
∴y=··x
=-+.
又∵0≤x≤2,
∴当x=1时,y有最大值.
综上所述,y的最大值为2.
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【题目】某中学为了解某年级1200名学生每学期参加社会实践活动时间,随机对该年级50名学生进行了调查,结果如下表:
时间(天) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
人 数 | 1 | 2 | 4 | 5 | 7 | 11 | 8 | 6 | 4 | 2 |
(1)在这个统计中,众数是 ,中位数是 ;
(2)补全下面的频率分布表和频率分布直方图:
分组 | 频数 | 频率 |
3.5~5.5 | 3 | 0.06 |
5.5~7.5> | 9 | 0.18 |
7.5~9.5 | 0.36 | |
9.5~11.5 | 14 | |
11.5~13.5 | 6 | 0.12 |
合 计 | 50 | 1.00 |
(3)请你估算这所学校该年级的学生中,每学期参加社会实践活动时间不少于9天的大约有多少人?
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【题目】如图,在△ABC中,MP和NQ分别垂直平分AB和AC,
(1)若△APQ的周长为20,求BC的长;
(2)若∠BAC=110°,求∠PAQ的度数.
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【题目】芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁,大桥采用低塔斜拉桥桥型(如甲图),图乙是从图甲引申出的平面图,假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°,拉索CD与水平桥面的夹角是60°,两拉索顶端的距离BC为2米,两拉索底端距离AD为20米,请求出立柱BH的长.(结果精确到0.1米, ≈1.732)
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【题目】如图,四边形中,,,、分别是线段、上的动点.
(1)能否在线段上作出点E,在线段上作出点,使的周长最小?______(用“能”或“不能”填空);
(2)如果能,请你在图中作出满足条件的点、(不要求写出作法),并直接写出的度数;如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,点B(3,3)在双曲线 (x>0)上,点D在双曲线 (x<0)上,点A和点C分别在x轴,y轴的正半轴上,且点A,B,C,D构成的四边形为正方形.
(1)求k的值;
(3)求点A的坐标.
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【题目】如图,在中,,.点是射线上一点,点是线段上一点,且点与点关于直线对称,连接,过点作直线,垂足为点,交的延长线于点.
(1)根据题意完成作图;
(2)请你写出与之间的数量关系,并进行证明;
(3)写出线段,之间的数量关系,并进行证明.
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【题目】甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票,谁都想去,最后商定通过转盘游戏决定.游戏规则是:转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘,转盘连续转动两次,若指针前后所指颜色相同,则甲去;否则乙去.(如果指针恰好停在分割线上,那么重转一次,直到指针指向一种颜色为止)
(1)转盘连续转动两次,指针所指颜色共有几种情况?通过画树状图或列表法加以说明;
(2)你认为这个游戏公平吗?请说明理由.
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【题目】如图,正方形网格中每个小正方形边长都是1.
(1)画出△ABC关于直线1对称的图形△A1B1C1;
(2)在直线l上找一点P,使PB=PC;(要求在直线1上标出点P的位置)
(3)在直线l上找一点Q,使点Q到点B与点C的距离之和最小.
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