Question

3．如图：∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，C、D分别是OA、OB上的动点，求△PCD周长最小值．

Answer 1

分析 设点P关于OA、OB对称点分别为M、N，当点C、D在MN上时，△PCD周长为PC+CD+DP=MN，此时周长最小．

解答 解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N，连接OM、ON、MN，MN交OA、OB于点C、D，连接PC、PD，此时△PCD周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
则∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=$\sqrt{O{M}^{2}+O{N}^{2}}$=10$\sqrt{2}$．
即△PCD周长的最小值等于10$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了轴对称--最短路线的问题，综合应用了轴对称、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识．