Question

9．如图，点E在△ABC的外部，点D边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2，AE=AC，BC=DE．
（1）求证：AB=AD；
（2）若∠1=60°，判断△ABD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理得到∠E=∠C，再根据AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，判定△ABC≌△ADE，即可得到AB=AD．
（2）根据等腰三角形的性质以及全等三角形的性质，可得∠ADB=∠ADE，进而得出$∠ADB=\frac{1}{2}∠BDE={60°}$，可得△ABD是等边三角形．

解答 解：（1）∵∠1+∠AFE+∠E=180°，
∴∠E=180°-∠1-∠AFE，
∵∠2+∠CFD+∠C=180°，
∴∠C=180°-∠2-∠CFD，
∵∠1=∠2，∠AFE=∠CFD，
∴∠E=∠C，
∵AC=AE，∠C=∠E，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE，
∴AB=AD．

（2）△ABD是等边三角形．理由：
∵∠1=∠2=60°，
∴∠BDE=180°-∠2=120°，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠B=∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE，
∴$∠ADB=\frac{1}{2}∠BDE={60°}$，
∴△ABD是等边三角形．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．