Question

【题目】如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是弧BDC的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F，E，且弧BF＝弧AD.

(1)求证：△ADC∽△EBA；

(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）利用圆的内接四边形角的性质，可得到角相等，再利用题目中给定的弧相等，所以圆周角相等，所以可证明三角形相似.(2)初中阶段求三角函数值，必须构造一个直角三角形或把要求的角转移到一个直角三角形中，本题由（1）的结论把∠CAD=∠AEC,在直角三角形AEC中，求三角函数.

详解：

(1)证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠CDA＋∠ABC＝180°.又∵∠ABE＋∠ABC＝180°，

∴∠CDA＝∠ABE.

∵弧BF=弧AD∴∠DCA＝∠BAE，∴△ADC∽△EBA.

(2)解：∵A是弧BDC的中点，∴弧AB=弧AC，∴AB＝AC＝8.

由(1)可知△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠AEC，，

∴tan∠CAD＝tan∠AEC＝.