Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF相交于点O，下列结论：

①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④△COD的面积等于四边形BEOF的面积，正确的有 （　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：

由已知条件证△EBC≌△FCD，从而可得∠BCE=∠FDC，结合∠BCE+∠OCD=90°可得∠FDC+∠OCD=90°，由此可得∠DOC=90°，即可得到结论①正确；再证∠OCD=∠DFC可推导得到结论③正确；由△EBC≌△FCD推导可得结论④正确；连接DE，假设结论②成立可推导得到DE=DC=DA，这与DE>DA矛盾，从而说明结论②错误；

详解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA=4，∠A=∠B=∠BCD=90°，

∵AE=BF=1，

∴AB-AE=BC-BF=4-1=3，即BE=CF=3，

∴△EBC≌△FCD，tan∠DFC=，

∴∠BCE=∠FDC，

∵∠BCE+∠OCD=90°，

∴∠FDC+∠OCD=90°，

∴∠DOC=180°-90°=90°，即结论①正确；

∴∠FOC=90°，

∴∠OFC+∠OCF=90°，

∵∠OCF+∠OCD=90°，

∴∠OCD=∠OCF，

∴tan∠OCD= tan∠DFC=，即结论③正确；

∵△EBC≌△FCD，

∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S△FOC，

∴S四边形BEOF=S△OCD，即结论④正确；

如下图，连接DE，假设②OC=OE成立 ，

∵∠DOC=90°，

∴DF垂直平分AC，

∴DE=DC，

∵DC=DA，

∴DE=DA，而这与Rt△ADE中，直角边AD小于斜边DE矛盾，

∴结论②错误，

综上所述，正确的结论是①③④共3个.

故选C.