Question

如图，在正方形ABCD中，F是CD上的一点，AE⊥AF，E是BC的延长线上一点，EF交AB于点G．
（1）求证：DF•FC=BG•EC；
（2）当tan∠DAF=

1

3

时，S_△AEF=10．求正方形ABCD的边长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）由正方形的性质，结合条件可证明△ABE≌△ADF，可得BE=DF，又△BEG∽△CEF，可得BG：CF=BE：EC，可得BE•FC=BG•EC，可得到结论；
（2）由（1）可知AE=AF，则△AEF的面积为10可得AF²=20，求得AF，又tan∠DAF=

1

3

，可得到

DF

AD

=

1

3

，结合勾股定理可求得AD．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=∠BAD=90°，
∵AE⊥AF，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中

∠BAE=∠DAF AB=AD ∠ABE=∠ADF

∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴BE=DF，
∵BG∥FC，
∴△BEG∽△CEF，
∴BG：CF=BE：EC，即BE•FC=BG•EC，
∴DF•FC=BG•EC；
（2）解：由（1）可知△ABE≌△ADF，
∴AE=AF，且AE⊥AF，
∴S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

AF²=10，
解得AF=2

5

，
∵tan∠DAF=

DF

AD

=

1

3

，
设DF=x，则AD=3x，在Rt△ADF中，由勾股定理可得DF²+AD²=AF²，
即x²+（3x）²=20，解得x=

2

或-

2

（舍去），
∴AD=3

2

，
即正方形的边长为3

2

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质，在（1）中证得BE=DF是解题的关键，在第（2）问求出AF是解题的关键，注意方程思想的应用．