Question

如图，已知BC为半圆O的直径，

AB

=

AF

，AC与BF交于点M．过点A作AD⊥BC于点D交BM于点E，若EM=

5

4

，

ED

BD

=

3

4

，求CD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,等边三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：由条件可得出∠EBA=∠EAB，得到AE=BE=EM，在Rt△BDE中可求得BE和BD，从而可求得AD，且容易证明△ABD∽△CAD，可得到AD²=BD•CD，可求得CD．

解答：解：
∵

AB

=

AF

，
∴∠ACB=∠EBA，
∵AB为直径，AD⊥BC，
∴∠ACB+∠DAC=∠BAE+∠DAC=90°，
∴∠BAE=∠ACB，
∴∠EBA=∠EAB，
∵∠BAE+∠EAM=∠EMA+∠ABE，
∴∠EAM=∠EMA，
∴AE=BE=EM=

5

4

，
∵

ED

BD

=

3

4

，
设ED=3x，BD=4x，在Rt△BDE中由勾股定理可得ED²+BD²=BE²，
即（3x）²+（4x）²=（

5

4

）²，解得x=

1

4

或-

1

4

（舍去），
∴DE=

3

4

，BD=1，AD=

3

4

+

5

4

=2，
在△ABD和△CAD中，∠ADB=∠CDA，∠BAD=∠ACD，
∴△ABD∽△CAD，
∴

AD

CD

=

BD

AD

，即

2

CD

=

1

2

，
∴CD=4．

点评：本题主要考查圆周角定理和等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，先求得AE=BE=EM是解题的关键，注意方程思想的应用．