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【题目】如图,△ABC中,AD平分∠BAC

(1)图①中,已知AF⊥BC , ∠B=500∠C=600. 求∠DAF的度数.

2)图②中,请你在直线AD上任意取一点E(不与点AD重合),画EF⊥BC,垂足为F.已知∠B=α∠C=ββa.求∠DEF的度数. (用α、β的代数式表示)

【答案】1DAF=5°2DEF=β-α

【解析】试题分析:根据三角形的内角和定理可求得∠BAC的度数,又因AD平分∠BAC,根据角平分线的定义可求得∠CAD的度数,再由垂直的定义可得∠AFC的度数,根据直角三角形的两锐角互余即可求得∠DAF的度数;(2)如图2,根据三角形的内角和定理可求得∠BAC的度数,又因AD平分∠BAC,根据角平分线的定义可求得∠CAD的度数,再由三角形的内角和定理求得∠ADC的度数,再由垂直的定义可得∠EFD的度数,根据直角三角形的两锐角互余即可求得∠DEF的度数;如图3,类比图2的方法解决问题即可.

试题解析:

(1)∵∠B=500∠C=600

∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-500-600 =70°,

∵AD平分∠BAC,

∴∠CAD = BAC =×70°=35°

又∵AF⊥BC

∠AFC =90°,

∴∠CAF =90° -∠C =30°,

∴ ∠DAF =∠CAD -∠CAF =5°.

(2)① 如图,

图2

B=α∠C=β

∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-(α+β)

∵AD平分∠BAC,

∴∠CAD = BAC = [180°-(α+β)]=90°- (α+β)

∴∠ADC=180°-CAD-C=180°-[90°- (α+β)]- β=90°+α-β

又∵EF⊥BC

∠EFD=90°,

∴∠DEF =90° ADC =90°-[90°+α-β]= β-α.

②如图,

图3

B=α∠C=β

∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-(α+β)

∵AD平分∠BAC,

∴∠CAD = BAC = [180°-(α+β)]=90°- (α+β)

∴∠ADC=180°-CAD-C=180°-[90°- (α+β)]- β=90°+α-β

∴∠ADC=EDF=90°+α-β

又∵EF⊥BC

∠EFD=90°,

∴∠DEF =90° EDF =90°-[90°+α-β]= β-α.

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