Question

19．如图，A（0，a），C（c，0），其中a，c满足c=$\sqrt{a-2}$+$\sqrt{2-a}$+6．
（1）求AC的长；
（2）过A作AB⊥AC，且AB=AC．
①D为x轴负半轴上一点，∠ABD=90°，求D点坐标；
②连BC，若点P（m，2m）（不与点B重合），使S_△APC=S_△ABC，则P点坐标为（$\frac{26}{7}$，$\frac{52}{7}$）．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的意义得出a的值，进而求出c的值，即可求出点A，C坐标，利用两点间的距离公式求出AC；
（2）①先判断出△ABE≌△CAO得出BE=2，AE=6，即可求出点E的坐标，进而求出直线AB的解析式，利用BD⊥AB求出直线BD解析式即可求出点D的坐标；
②先判断出AC∥BD，再利用S_△APC=S_△ABC，得出点P到直线AC的距离等于AB，即可判断出点P在直线BD上或在直线BD关于直线AC的对称的直线B'P上，即可求出点P的坐标．

解答 解：（1）∵a，c满足c=$\sqrt{a-2}$+$\sqrt{2-a}$+6．
∴a-2≥0，2-a≥0，
∴a=2，
∴c=6，
∴A（0，2），C（6，0），
∴AC=2$\sqrt{10}$；
（2）①如图1，过点B作BE⊥OA于E，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAE+∠CAO=90°，
∴∠ABE=∠CAO，
在△ABE和△CAO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠COA}\\{∠ABE=∠CAO}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAO，
∴BE=OA=2，AE=OC=6，
∵OA=2，
∴OE=4，
∴B（-2，-4），
∴直线AB的解析式为y=3x+2，
∵∠ABD=90°，且B（-2，-4），
∴直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{14}{3}$，
当y=0时，x=-14，
∴D（-14，0）；
②如图2，∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，
∴直线AC和BD间的距离是AB，
设点P到AC的距离为h，
∴S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•h，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•AB，而S_△APC=S_△ABC
∴$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AC•AB，
∴h=AB，
Ⅰ、点P在直线AC下方时，点P在直线BD上，
∵P（m，2m），
由（2）知，直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{14}{3}$，
∴2m=-$\frac{1}{3}$m-$\frac{14}{3}$，
∴m=-2，
∴P（-2，-4）此时和点B重合，不符合题意，舍去；
Ⅱ、当点P在直线AC上方时，
∵BA⊥AC，A（0，2），B（-2，-4），
∴点B关于直线AC的对称点B'的坐标为（2，8），
∴直线B'P的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{26}{3}$，
∵点P在直线B'P上，
∴2m=-$\frac{1}{3}$m+$\frac{26}{3}$，
∴m=$\frac{26}{7}$，
∴P（$\frac{26}{7}$，$\frac{52}{7}$）．
故答案为：（$\frac{26}{7}$，$\frac{52}{7}$）．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，待定系数法求直线解析式，平行线的判断，解（1）关键利用二次根式的意义求出a的值，解（2）的关键是求出点B的坐标，解（3）的关键是利用S_△APC=S_△ABC，判断出点P在直线BD上或直线B'P上．