【题目】如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,- )三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;
(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
∵A(﹣1,0),B(5,0),C(0,- )三点在抛物线上,
∴ ,
解得 .
∴抛物线的解析式为:y= x2﹣2x﹣ ;
(2)
解:∵抛物线的解析式为:y= x2﹣2x﹣ ,
∴其对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2,
连接BC,如图1所示,
∵B(5,0),C(0,﹣ ),
∴设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),
∴ ,
解得 ,
∴直线BC的解析式为y= x﹣ ,
当x=2时,y=1﹣ =﹣ ,
∴P(2,﹣ );
(3)
解:存在.
如图2所示,
①当点N在x轴下方时,
∵抛物线的对称轴为直线x=2,C(0,﹣ ),
∴N1(4,﹣ );
②当点N在x轴上方时,
如图,过点N2作N2D⊥x轴于点D,
在△AN2D与△M2CO中,
∴△AN2D≌△M2CO(ASA),
∴N2D=OC= ,即N2点的纵坐标为 .
∴ x2﹣2x﹣ = ,
解得x=2+ 或x=2﹣ ,
∴N2(2+ , ),N3(2﹣ , ).
综上所述,符合条件的点N的坐标为(4,﹣ ),(2+ , )或(2﹣ , ).
【解析】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识,在解答(3)时要注意进行分类讨论.(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),再把A(﹣1,0),B(5,0),C(0,- )三点代入求出a、b、c的值即可;(2)因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为(5,0),连接BC交对称轴直线于点P,求出P点坐标即可;(3)分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论.
【考点精析】本题主要考查了确定一次函数的表达式和平行四边形的判定与性质的相关知识点,需要掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法;若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形,若学校位置坐标为A(1,2),解答以下问题:
(1)请在图中建立适当的直角坐标系,并写出图书馆B位置的坐标;
(2)若体育馆位置坐标为C(-3,3),请在坐标系中标出体育馆的位置,并顺次连接学校、图书馆、体育馆,得到△ABC,求△ABC的面积.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】油电混动汽车是一种节油、环保的新技术汽车.它将行驶过程中部分原本被浪费的能量回收储存于内置的蓄电池中.汽车在低速行驶时,使用蓄电池带动电动机驱动汽车,节约燃油.某品牌油电混动汽车与普通汽车的相关成本数据估算如下:
油电混动汽车 | 普通汽车 | |
购买价格 | 17.48 | 15.98 |
每百公里燃油成本(元) | 31 | 46 |
某人计划购入一辆上述品牌的汽车.他估算了未来10年的用车成本,在只考虑车价和燃油成本的情况下,发现选择油电混动汽车的成本不高于选择普通汽车的成本.则他在估算时,预计平均每年行驶的公里数至少为( )
A. 5000 B. 10000 C. 15000 D. 20000
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知:△ABC内接于⊙O,D是 上一点,OD⊥BC,垂足为H.
(1)如图1,当圆心O在AB边上时,求证:AC=2OH;
(2)如图2,当圆心O在△ABC外部时,连接AD、CD,AD与BC交于点P,求证:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的条件下,如图3,连接BD,E为⊙O上一点,连接DE交BC于点Q、交AB于点N,连接OE,BF为⊙O的弦,BF⊥OE于点R交DE于点G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=5 ,BN=3 ,tan∠ABC= ,求BF的长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=BC=1,CD=,DA=1,且∠B=90°.求:
(1)∠BAD的度数;
(2)四边形ABCD的面积(结果保留根号).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y= (m≠0)的图象交于A、B两点,与x轴交于C点,点A的坐标为(n,6),点C的坐标为(﹣2,0),且tan∠ACO=2.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)求点B的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:_____________,使△AEH≌△CEB.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,延长CB到点E,使BE=BC,连接AE.
(1)求证:四边形ADBE是平行四边形;
(2)若AB=4,OB=,求四边形ADBE的周长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com