Question

16．（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转至△BEA（点C与点A重合，点E到点E处），连接DE．求证：DE'=DE．
（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D，E是AC边上的两点，且∠DBE=45°（即∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC）．求证：DE²=AD²+EC²．
（3）如图3，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点E是AC边上的点，点D是CA边延长线上的点，且∠DBE=45°．第（2）题中的结论：DE²=AD²+EC²还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，再由图形旋转的性质可知BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，故可得出∠DBE′=∠DBE，由全等三角形的性质即可得出△DBE≌△DBE′，故可得出结论；
（2）把△CBE逆时针旋转90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知图形旋转后点C与点A重合，∠E′AB=∠BCE=45°，得出∠DAE′=90°，由（1）证DE=DE′，再根据勾股定理即可得出结论．
（3）作点E关于直线BD的对称点为F，连接AF、DF、BF，由轴对称的性质得出则DF=DE，BF=BE，∠DBF=∠DBE=45°，证出∠CBE=∠ABF，由SAS证明△ABF≌△CBE，得出AF=CE，∠BAF=∠ACB=45°，证出∠DAF=90°，由勾股定理得出DF²=AD²+AF²，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵△ABE′由△CBE旋转而成，
∴BE=BE′，∠ABE′=∠CBE，
∴∠DBE′=∠DBE，
在△DBE与△DBE′中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE'}&{\;}\\{∠DBE=∠DBE'}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DBE′（SAS），
∴DE′=DE；
（2）证明：以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转90°，至△BE'A，如图2所示：
∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠BCE=45°，
∴图形旋转后点C与点A重合，CE与AE′重合，
∴AE′=EC，
∴∠E′AB=∠BCE=45°，
∴∠DAE′=90°，
在Rt△ADE′中，DE′²=AE′²+AD²，
∵AE′=EC，
∴DE′²=EC²+AD²，
同（1）可得DE=DE′，
∴DE′²=AD²+EC²，
∴DE²=AD²+EC²．
（3）解：DE²=AD²+EC²还成立．理由如下：
作点E关于直线BD的对称点为F，连接AF、DF、BF，如图所示：
则DF=DE，BF=BE，∠DBF=∠DBE=45°，
∵∠ABC=90°，∠DBE=45°，
∴∠CBE=45°+∠ABD=∠ABF
在△ABF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABF=∠CBE}&{\;}\\{BF=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE，∠BAF=∠ACB=45°，
∴∠EAF=∠BAC+∠BAF=90°，
∴∠DAF=90°，
∴DF²=AD²+AF²，
∴DE²=AD²+EC²．

点评 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．