Question

11．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角为∠xOy．

（1）已知点A（5，0）、点B（3，2），则d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．
（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）=5，画出点P运动所形成的图形．
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y=$\frac{4}{3}$x（x≥0）．
①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；
②在图4中，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$经过A（5，0）与点D（3，4）两点，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据点A（5，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是5，可得d（∠xOy，A）=0+5=5；然后根据点B（3，2）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，求出d（∠xOy，B）的值是多少即可．
（2）首先设点P的坐标是（x，y），然后根据d（∠xOy，P）=5，可得x+y=5，据此求出点P运动所形成的图形即可．
（3）①首先作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，然后设直线OT对应的函数关系式为y=$\frac{4}{3}$x（x≥0），求出点H的坐标为H（4，$\frac{16}{3}$），进而求出CH，OH的值各是多少；最后根据相似三角形判定的方法，判断出△HEC∽△HFO，即可判断出$\frac{EC}{FO}$=$\frac{HC}{HO}$，据此求出EC的值，即可求出d（∠xOT，C）的值是多少．
②首先作QG⊥OT于点G，QH⊥x轴于点H，交OT于点K，设点Q的坐标为（m，n），其中3≤m≤5，则n=-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$，然后判断出点K的坐标，以及HK，OK的大小，再判断出Rt△QGK∽Rt△OHK，即可判断出$\frac{QG}{OH}=\frac{QK}{OK}$，据此求出QG=$\frac{4m-3n}{5}$；最后求出d（∠xOT，Q）的值，根据二次函数最值的求法，求出当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标即可．

解答 解：（1）∵点A（5，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是5，
∴d（∠xOy，A）=0+5=5，
∵点B（3，2）到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴d（∠xOy，B）=2+3=5．
综上，可得d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．

（2）设点P的坐标是（x，y），
∵d（∠xOy，P）=5，
∴x+y=5，
∴点P运动所形成的图形是线段y=5-x（0≤x≤5）．

（3）①如图3，作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF=1，
，
∵直线OT对应的函数关系式为y=$\frac{4}{3}$x（x≥0），
∴点H的坐标为H（4，$\frac{16}{3}$），
∴CH=$\frac{16}{3}-1$=$\frac{13}{3}$，OH=$\sqrt{{OF}^{2}{+FH}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+（\frac{16}{3}）}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
∵CE⊥OT，
∴∠OHF+∠HCE=90°，
又∵∠OHF+∠HOF=90°，
∴∠HCE=∠HOF，
在△HEC和△HFO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HCE=∠HOF}\\{∠HEC=∠HFO}\end{array}\right.$
∴△HEC∽△HFO，
∴$\frac{EC}{FO}$=$\frac{HC}{HO}$，
即 $\frac{EC}{4}$=$\frac{\frac{13}{3}}{\frac{20}{3}}=\frac{13}{20}$，
∴EC=$\frac{13}{5}$，
∴d（∠xOT，C）=$\frac{13}{5}$+1=$\frac{18}{5}$．
      
②如图4，作QG⊥OT于点G，QH⊥x轴于点H，交OT于点K，
，
设点Q的坐标为（m，n），其中3≤m≤5，
则n=-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$，
∴点K的坐标为（m，$\frac{4}{3}$m），QK=$\frac{4}{3}m-n$，
∴HK=$\frac{4}{3}$m，OK=$\frac{5}{3}$m．
∵Rt△QGK∽Rt△OHK，
∴$\frac{QG}{OH}=\frac{QK}{OK}$，
∴QG=$\frac{4m-3n}{5}$，
∴d（∠xOT，Q）=QG+QH
=$\frac{4m-3n}{5}$+n
=$\frac{4}{5}m+\frac{2}{5}n$
=$\frac{4}{5}m+\frac{2}{5}$（-$\frac{1}{2}$m²+2m+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{1}{5}$m²+$\frac{8}{5}$m+1
=$-\frac{1}{5}$（m-4）²$+\frac{21}{5}$
∵3≤m≤5，
∴当m=4时，d（∠AOB，Q）取得最大值$\frac{21}{5}$． 
此时，点Q的坐标为（4，$\frac{5}{2}$）．
故答案为：5、5．

点评 （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．
（3）此题还考查了“点角距”的含义和求法，要熟练掌握．