Question

6．如图，在直角坐标系中，过点P（x，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x²+2与直线y=-$\frac{1}{2}$x于A，B两点，以线段AB为对角线作正方形ADBC，已知点Q（a，b）为该抛物线上的点．
（1）若x=1，当点Q在正方形ADBC边上（点A除外）时，则a的值为0．
（2）若a=-1，当点Q在正方形ADBC的内部（包括边界）时，x的取值范围是2≤x≤4或-$\frac{8}{3}$≤x≤-1．

Answer 1

分析 （1）先求得A、B的坐标，进而求得AB的长，根据正方形的性质，求得C、D的坐标，然后根据待定系数法求得直线AC的解析式，与抛物线联立方程，解方程即可求得Q的坐标，从而求得a；
（2）分两种情况：①当P在点Q的右侧时，根据题意列出方程即可．当P在点Q的左侧时，列出方程即可．

解答 解：（1）若x=1，则P（1，0），
∵过点P（1，0）作x轴的垂线分别交抛物线y=x²+2与直线y=-$\frac{1}{2}$x于A，B两点，
∴A（1，3），B（1，-$\frac{1}{2}$），
∴AB=3$\frac{1}{2}$，
∴AB的一半为$\frac{7}{4}$，
∵以线段AB为对角线作正方形ADBC，
∴C，D的纵坐标为3-$\frac{7}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∵点C的横坐标为1-$\frac{7}{4}$=-$\frac{3}{4}$，
∴C（-$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{4}$），
设直线AC的解析式为y=kx+b，把A，C的坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{3=k+b}\\{\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=x+2，
∴与抛物线y=x²+2联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$（舍去），
∴Q（0，2），
∴a=0．
故答案为：0．
（2）若a=-1，则Q的坐标为（-1，3），
①当P在点Q的右侧时，
直线AC经过点Q时，直线AC的解析式为y=x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y={x}^{2}+2}\end{array}\right.$解得x₁=2，x₂=0（舍去），
，当直线BC经过点Q时，直线BC的解析式为y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得x=4，
∴2≤x≤4；
②当P在点Q的左侧时，
直线BD经过点Q时，直线BD的解析式为y=x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+4}\\{y=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$解得x=-$\frac{8}{3}$，
当直线AD经过点Q时，点A与Q重合，此时x=-1，
∴-$\frac{8}{3}$≤x≤-1；
综上，x的取值范围是2≤x≤4或-$\frac{8}{3}$≤x≤-1．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了正方形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意列出方程是本题的关键．