已知:在平面直角坐标系xoy中.抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于A.B(m-b.m2-mb+n)两点.其中a.b.c.m.n均为实数.且a≠0.m≠0(1)①填空:c=-$\frac{1}{2}$.n=-$\frac{1}{2}$,②求a的值．小明思考:∵B(m-b.m2-mb+n) 在抛物线y=ax2+bx+c上∴m2-mb+n=a(m-b)2+b(m-b)+c-请根� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

16．

已知：在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax²+bx+c与直线y=mx+n相交于
A（0，-$\frac{1}{2}$），B（m-b，m²-mb+n）两点，其中a，b，c，m，n均为实数，且a≠0，m≠0
（1）①填空：c=-$\frac{1}{2}$，n=-$\frac{1}{2}$；
②求a的值．
小明思考：∵B（m-b，m²-mb+n）在抛物线y=ax²+bx+c上
∴m²-mb+n=a（m-b）²+b（m-b）+c
…
请根据小明的解题过程直接写出a的值：a=1．
（2）若m=1，b=-2，设点P在抛物线y=ax²+bx+c上，且在直线AB的下方，求△ABP面积的取值范围；
（3）当-1≤x≤1时，求抛物线y=ax²+bx+c上到x轴距离最大的点的坐标．（用含b的代数式表示）

分析（1）①把A点坐标分别代入抛物线和直线解析式，可分别求得c和n的值；②把B点坐标代入抛物线解析式，结合①整理可求得a的值；
（2）由条件可得出抛物线解析式和直线解析式，过P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，设P点坐标为（x，axx
x²+bx+c），则可表示出Q点坐标，从而可表示出PQ的长，可表示出△PAB的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，可求得△ABP面积的取值范围；
（3）根据求得的抛物线解析式可求得顶点坐标、x=1、x=-1时对应的y值，再分-$\frac{b}{2}$≤-1，-1＜-$\frac{b}{2}$≤0、0＜-$\frac{b}{2}$≤1和-$\frac{b}{2}$＞1四种情况分别讨论y的最大值即可求得求抛物线y=ax²+bx+c上到x轴距离最大的点的坐标．

解答解：
（1）①∵n抛物线y=ax²+bx+c与直线y=mx+n相交于A（0，-$\frac{1}{2}$），
∴把A点坐标代入抛物线解析式可得c=-$\frac{1}{2}$，代入直线解析式可得n=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$；-$\frac{1}{2}$；
②∵B（m-b，m²-mb+n）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴m²-mb+n=a（m-b）²+b（m-b）+c，
∵c=n=-$\frac{1}{2}$，
∴m²-mb=a（m-b）²+b（m-b），整理可得（a-1）（m-b）=0，
∵A、B不重合，
∴m-b≠0，
∴a-1=0，解得a=1，
故答案为：1；
（2）若m=1，b=-2，则直线AB解析式为y=x-$\frac{1}{2}$，抛物线解析式为y=x²-2x-$\frac{1}{2}$，
如图，过P作PQ∥y轴，交直线AB于点Q，

设P（x，x²-2x-$\frac{1}{2}$），则Q（x，x-$\frac{1}{2}$），
∵P点在直线AB下方，
∴PQ=（x-$\frac{1}{2}$）-（x²-2x-$\frac{1}{2}$）=-x²+3x，
∵B（3，$\frac{5}{2}$），
∴点B到PQ的距离为3-x，点A到PQ的距离为x，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）（3-x）+$\frac{1}{2}$（-x²+3x）x=$\frac{1}{2}$（-x²+3x）×3=-$\frac{3}{2}$（x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$
∴△ABP面积的最大值为$\frac{27}{8}$，
∴△ABP面积的取值范围为：0＜S≤$\frac{27}{8}$；
（3）抛物线y=x²+bx-$\frac{1}{2}$的对称轴为x=-$\frac{b}{2}$，最小值为-$\frac{{b}^{2}+2}{4}$，
当x=-1时，y=$\frac{1}{2}$-b；当x=1时，y=$\frac{1}{2}$+b，
①当x=-$\frac{b}{2}$≤-1，即b≥2时，
|$\frac{1}{2}$+b|-|$\frac{1}{2}$-b|=$\frac{1}{2}$+b+$\frac{1}{2}$-b=1＞0，
到x轴距离最大的点的坐标为（1，$\frac{1}{2}$+b）；
②当-1＜-$\frac{b}{2}$≤0，即0≤b＜2时，
|$\frac{1}{2}$+b|-|-$\frac{{b}^{2}+2}{4}$|=$\frac{1}{2}$+b-$\frac{{b}^{2}+2}{4}$=b（1-$\frac{b}{4}$）＞0，
∴到x轴距离最大的点的坐标为（1，$\frac{1}{2}$+b）；
③当0＜-$\frac{b}{2}$≤1，即-2≤b＜0时，
|$\frac{1}{2}$-b|-|-$\frac{{b}^{2}+2}{4}$|=$\frac{1}{2}$-b-$\frac{{b}^{2}+2}{4}$=-b（1+$\frac{b}{4}$）＞0，
∴到x轴距离最大的点的坐标为（-1，$\frac{1}{2}$-b）；
④当x=-$\frac{b}{2}$＞1，即b＜-2时，
|$\frac{1}{2}$+b|-|$\frac{1}{2}$-b|=-$\frac{1}{2}$-b-（$\frac{1}{2}$-b）=-1＜0，
∴到x轴距离最大的点的坐标为（-1，$\frac{1}{2}$-b）；
综上所述，当b≥0时，到x轴距离最大的点的坐标为（1，$\frac{1}{2}$+b）；
当b＜0时，到x轴距离最大的点的坐标为（-1，$\frac{1}{2}$-b）．

点评本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、分类讨论等知识．在（1）中注意待定系数法的步骤，在（2）中用P点坐标表示出△PAB的面积是解题的关键，在（3）中把问题转化成求函数的最大值是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量较大，综合性很强，难度较大．

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