Question

8．如图，平面直角坐标系中，AB⊥AC，
（1）求点C的坐标；
（2）求Rt△BAC的周长．

Answer 1

分析 （1）证明Rt△ABO∽Rt△CAO，利用相似比计算出OC=4，于是可得到点C的坐标为（4，0）；
（2）先利用勾股定理计算出AB和AC，而BC=5，然后根据三角形周长的定义求解．

解答 解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，即∠BAO+∠CAO=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CAO=∠ABO，
∴Rt△ABO∽Rt△CAO，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$，即$\frac{2}{OC}$=$\frac{1}{2}$，
∴OC=4，
∴点C的坐标为（4，0）；
（2）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
BC=4-（-1）=5，
所以Rt△BAC的周长=AB+AC+BC=$\sqrt{5}$+2$\sqrt{5}$+5=3$\sqrt{5}$+5．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了坐标与图形性质．