Question

1．点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，点P是BC上任意一点，AP⊥PF，且AP=PF，连接CF．
（1）求证：∠BAP=∠FPC；
（2）求∠FCE的度数．

Answer 1

分析 （1）作FH⊥CE于H，则∠FHP=90°，先证出∠FPH=∠BAP，再由AAS证明△ABP≌△PHF，即可得出结论；
（2）由△ABP≌△PHF，得出BP=HF，AB=PH，证出BP=CH，得出CH=HF，即可求出结果．

解答 （1）证明：作FH⊥CE于H，则∠FHP=90°，
∵AP⊥PF，∴∠APF=90°，
∴∠APB+∠FPH=90°，
又∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠FPH=∠BAP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
在△ABP和△PHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FHP=90°}&{\;}\\{∠BAP=∠FPH}&{\;}\\{AP=PF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△PHF（AAS），
∴∠BAP=∠FPC；
（2）解：∵△ABP≌△PHF，
∴BP=HF，AB=PH，
∴PH-PC=BC-PC，
∴BP=CH，
∴CH=HF．
∴∠FCE=∠CFH=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．