Question

6．在△ACF中，CB⊥FA于点B，BE=BF，BA=BC．
（1）判断AE与CF的关系，并说明理由；
（2）若∠CAE=20°，求∠ACF的度数．

Answer 1

分析 （1）AE=CF，由CB⊥FA，得到∠ABC=90°就可以求出∠CBF=90°，由SAS就可以得出△ABE≌△CBF，即可解答；
（2）由∠CAE=30°就可以求出∠BAE=15°，就可以得出∠BCF=15°，由条件可以求出∠ACB=45°，进而可以求出∠ACF的度数．

解答 解：（1）AE=CF，
理由如下：∵CB⊥FA，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠CBF=90°，
在△ABE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABC=∠CBF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF；
（2）∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE=∠BCF．
∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BCA=∠BAC=45°．
∵∠CAE=20°，
∴∠BAE=25°，
∴∠BCF=25°．
∵∠ACF=∠BCF+∠ACB，
∴∠ACF=25°+45°=70°．
答：∠ACF的度数为70°．

点评 本题考查了垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．