Question

14．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是边AC上任意一点（点E与点A，C不重合），以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD=90°，连接BE，AD．
（1）若CA=CB，CE=CD，
①猜想线段BE，AD之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②现将图1中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）若CA=8，CB=6，CE=3，CD=4，Rt△ECD绕着点C顺时针旋转锐角α，如图3，连接BD，AE，计算BD²+AE²的值．

Answer 1

分析 （1）①由CA=CB，CE=CD，∠ACB=90°易证△BCE≌△ACD，所以BE=AD，∠BEC=∠ADC，又因为∠EBC+∠BEC=90°，所以∠EBC+∠ADC=90°，即BE⊥AD；
②成立．设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，易证△ACD≌△BCE．得到AD=BE，∠CAD=∠CBE．再根据等量代换得到∠AFG+∠CAD=90°．即BE⊥AD；
（2）易证△ACD∽△BCE．得到∠CAD=∠CBE．再根据等量代换得到∠AFG+∠CAD=90°，即BE⊥AD，根据勾股定理得到BD²+AE²=AB²+ED²，即可根据勾股定理计算．

解答 （1）①BE=AD，BE⊥AD；
证明：在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACB=∠ACD=90°}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ADC=90°，
∴BE⊥AD．
②BE=AD，BE⊥AD仍然成立；
证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图1．
∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}AC=BC\\∠ACD=∠BCE\\ CD=CE\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE．
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE．
∵∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°，
∴∠AFG+∠CAD=90°．
∴∠AGF=90°．
∴BE⊥AD．
（2）证明：设BE与AC的交点为点F，BE的延长线与AD的交点为点G，如图2．
∵∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACD=∠BCE．
∵CA=8，CB=6，CE=3，CD=4，
∴$\frac{CA}{CB}=\frac{CD}{CE}=\frac{4}{3}$．
∴△ACD∽△BCE．
∴∠CAD=∠CBE．
∵∠BFC=∠AFG，∠BFC+∠CBE=90°，
∴∠AFG+∠CAD=90°．
∴∠AGF=90°．
∴BG⊥AD．
∴∠AGE=∠BGD=90°．
∴AE²=AG²+EG²，BD²=BG²+DG²．
∴BD²+AE²=AG²+EG²+BG²+DG²．
∵AG²+BG²=AB²，EG²+DG²=ED²，
∴BD²+AE²=AB²+ED²=CA²+CB²+CD²+CE²=125．

点评 本题属于几何综合变换题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键．