Question

9．在平面直角坐标系中，抛物线y₁=ax²-4ax+n与x轴的交点A、B，抛物线的顶点为D．
（1）若抛物线过点C（0，3），AB=2，求抛物线的解析式；
（2）若AB=2，求抛物线的最小值；
（3）若a=1，关于x的方程ax²-4ax+n=0在1＜x＜4的范围内有解，试求n的范围．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y₁=ax²-4ax+n过点C（0，3），求出n，根据根与系数的关系求出a，得到抛物线的解析式；
（2）根据AB=2和根与系数的关系列出算式，求出a与n的关系，根据二次函数最值的求法，求出抛物线的最小值；
（3）把a=1代入方程，根据一元二次方程根的判别式和方程在1＜x＜4的范围内有解，求出在1＜x＜4的范围内有解．

解答 解：（1）∵抛物线y₁=ax²-4ax+n过点C（0，3），
∴n=3，
∴y₁=ax²-4ax+3，
令ax²-4ax+3=0的根为x₁，x₂，得x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{3}{a}$
∵AB=2，
∴|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴16-$\frac{12}{a}$=4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3，
（2）令ax²-4ax+n=0的根为x₁，x₂，得x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{n}{a}$，
∵AB=2，
∴|x₁-x₂|=2，
∴（x₁-x₂）²=4，
即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
∴16-$\frac{4n}{a}$=4，解得n=3a，
抛物线的解析式为y=ax²-4ax+3a，
∵抛物线的开口向上，
∴y_最小值=$\frac{4a×3a-（4a）^{2}}{4a}$=-a，
（3）∵a=1，
∴关于x的方程x²-4x+n=0在1＜x＜4的范围内有解，
∵△=16-4n≥0，
∴n≤4，
x²-4ax+n=0的解为：x₁=$\frac{4+\sqrt{16-4n}}{2}$，x₂=$\frac{4-\sqrt{16-4n}}{2}$，
$\frac{4+\sqrt{16-4n}}{2}$＜4，解得，n＞0，
$\frac{4-\sqrt{16-4n}}{2}$＞1，解得，n＞3，
故ax²-4ax+n=0在1＜x＜4的范围内有解时，3＜n≤4．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法、二次函数的性质和待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的性质和待定系数法的步骤是解题的关键．