Question

12．如图，在?ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接EC、AF，AF与EC交于点M，AF的延长线与DC的延长线交于点N．
（1）求证：AB=CN；
（2）若AB=2n，BE=2MF，试用含n的式子表示线段AN的长．

Answer 1

分析 （1）由在?ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，易证得△ABF≌△NCF（AAS），继而证得结论；
（2）由AB∥DN，易证得△AEM∽△NCM，然后由相似三角形的对应边成比例，且E、F分别为AB、BC的中点，求得$\frac{AM}{MN}=\frac{AE}{CN}=\frac{1}{2}$，然后由$BE=\frac{1}{2}AB$，AB=2n，BE=2MF，AF=FN，求得AN=3n．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DN，
∴∠B=∠FCN，∠BAF=∠N，
∵F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△ABF和△NCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FCN}\\{∠BAF=∠N}\\{BF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△NCF（AAS），
∴AB=CN；

（2）解：∵AB∥DN，
∴△AEM∽△NCM，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{AE}{CN}$，
∵AB=CN，且E是AB的中点，
∴$\frac{AM}{MN}=\frac{AE}{CN}=\frac{1}{2}$，
∵$BE=\frac{1}{2}AB$，AB=2n，BE=2MF，
∴BE=n，$MF=\frac{1}{2}n$，
∴$\frac{AF-MF}{FN+MF}=\frac{1}{2}$，
由△ABF≌△NCF，可得AF=FN，
∴$\frac{{AF-\frac{1}{2}n}}{{AF+\frac{1}{2}n}}=\frac{1}{2}$，
∴$AF=\frac{3}{2}n$，
∴AN=3n．

点评 此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意借助于全等三角形与相似三角形的性质求解是关键．