Question

如图，点P为圆O′外一点，OC为圆O′的直径，PO=OC，PO交圆O′于M，OH为圆O′的切线，且PH垂直于OH，若OH=2PM，求tan∠OPO′的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接MC，作O′N⊥OP于N，则∠OMC=90°，由条件可证得PH∥OC，可得∠P=∠MOC，可证得△OPH≌△COM，可得PH=OM，CM=OH；根据垂径定理得出MN=ON，进而根据三角形的中位线定理得出O′N=PM，由PH=OM，在Rt△PHO中，利用勾股定理结合条件可得到3PM=2OM，可求得MN=

3

4

PM，从而求得PN=MN+PM=

7

4

PM，在RT△PO′N中即可求得tan∠OPO′的值．

解答：解：如图，连接MC，作O′N⊥OP于N，
∵AC为直径，
∴∠OMC=90°，且OH⊥PH，
∴∠PHC=∠OMC，
∵OH为切线，
∴∠HOC=90°，
∴PH∥OC，
∴∠P=∠MOC，
在△OPH和△OMC中，

∠P=∠MOC ∠PHO=∠OMC PO=OC

，
∴△OPH≌△COM（AAS），
∴PH=OM，CM=OH；
∵O′N⊥OP，
∴MN=ON=

1

2

OM，
∵OO′=O′C，
∴2O′N=MC，
∴2O′N=OH，
∵OH=2PM，
∴O′N=PM，
∵△PHO为直角三角形，
∴PH²+OH²=（PM+OM）²，
∵PH=OM，OH=2PM，
∴OM²+4PM²=PM²+2PM•OM+OM²，
∴3PM²=2PM•OM，
∴3PM=2OM，
∴OM=

3

2

PM，
∴MN=

3

4

PM，
∴PN=MN+PM=

7

4

PM，
∴在RT△PO′N中，tan∠OPO′=

O′N

PN

=

PM

7 4 PM

=

4

7

．

点评：本题主要考查切线的性质、垂径定理及圆周角定理、全等三角形的判定，借助勾股定理找到PM和OM之间的关系是解题的关键．