[题目]综合探究问题情境:我们在第十一章中学习了三角形的边与角的性质.在第十二章中学习了全等三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边.进而解决问题.问题初探:如图1.在△ABC中.∠ACB=90°.AC=BC,点D为直线AB上的一个动点(D与A.B不重合).连接CD.以CD为直角边作等腰直角三角形CDE.连接BE. (1)当点D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】综合探究

问题情境：

我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.

问题初探：

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为直线AB上的一个动点（D与A，B不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE.

（1）当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是；位置关系是；AB，BD，BE三条线段之间的关系是 .

类比再探：

（2）如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在(1)中的位置关系吗?若存在，请说明理由.同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由.

能力提升：

（3）如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB=7，AD=2，则AE= .

【答案】（1）相等，垂直，AB=BD+BE；（2）成立，AB= BE－BD；（3）9．

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，即可证明△ADC≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得出结论；

（2）同理可得结论；

（3）同理可证：△AEC≌△BDC，根据全等三角形的性质可得AE=BD=AB+AD，即可得到结论．

（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°．

∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ADC和△BEC中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，∴AB⊥BE．

∵AD=BE，∴AB=AD+BD=BD+BE．

故答案为：相等，垂直，AB=BD+BE．

（2）成立，AB= BE－BD．理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠A=∠ABC=45°，∠ACB=90°．

∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ADC和△BEC中，∵AC=BC，∠ACD=∠BCE，DC=EC，∴△ADC≌△BEC，∴AD=BE，∠A=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，∴AB⊥BE．

∵AD=BE，∴AB=AD－BD= BE－BD．

故答案为：垂直，AB= BE－BD．

（3）同理可证：△AEC≌△BDC，∴AE=BD，∴AE=AB+AD=7+2=9．

故答案为：9．

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