Question

8．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2与x轴正半轴交于点A，点D（0，m）为y轴正半轴上一点，连结AD并延长交抛物线于点E，若点C（4，n）在抛物线上，且CE∥x轴．
（1）求m，n的值；
（2）连结CD并延长交抛物线于点F，求$\frac{CD}{DF}$的值．

Answer 1

分析 （1）将点C横坐标代入抛物线解析式即可求得n的值，根据n的值可以求得点E的坐标，即可求得点A坐标，即可求得直线AE解析式，即可解题；
（2）易求得直线CD解析式，即可求得点F坐标，即可求得DF、CD的长，即可解题．

解答 解：（1）∵抛物线上x=4时，y=$\frac{1}{4}$×16+$\frac{1}{2}$×4-2=4，
∴点C坐标为（4，4），n=4，
∵当y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=4时，解得：x=4或-6，
∴点E坐标为（-6，4），
∵当y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=0时，x=2或-4，
∴点A坐标为（2，0），
设直线AE解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{0=2k+b}\\{4=-6k+b}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴直线AE解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
当x=0时，y=1，∴点D坐标为（0，1）；
（2）设直线CD解析式为y=kx+b，
则代入C、D点得：$\left\{\begin{array}{l}{4=4k+b}\\{1=b}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{3}{4}$，b=1，
∴直线CD解析式为y=$\frac{3}{4}$x+1，
当y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2=$\frac{3}{4}$x+1时，化简得：x²-x-12=0，
解得：x=4或-3，
∴点F坐标为（-3，-$\frac{5}{4}$），
∴DF=$\sqrt{{{3}^{2}+（1+\frac{5}{4}）}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
CD=$\sqrt{{4}^{2}{+（4-1）}^{2}}$=5，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{5}{\frac{15}{4}}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了代入法就抛物线解析式的方法，考查了一次函数解析式的求解，本题中求得各个点的坐标是解题的关键．