Question

18．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8$\sqrt{3}$，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．首先证明E′与E重合，因为A、C关于BD对称，所以当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，由此求出CE即可解决问题．

解答 解：如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．

∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8$\sqrt{3}$，
∴AB=BC=4，AB•CE′=8$\sqrt{3}$，
∴CE′=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BCE′中，BE′=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，PA′+P′E的值最小，最小值为CE的长=2$\sqrt{3}$，
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明CE是△ABC的高，学会利用对称解决最短问题．