Question

2．已知：如图1，在⊙O中，直径AB=4，CD=2，直线AD，BC相交于点E．
（1）∠E的度数为60⁰；
（2）如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
（3）如图3，弦AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．

Answer 1

分析 （1）连结OD，OC，BD，根据已知得到△DOC为等边三角形，根据直径所对的圆周角是直角，求出∠E的度数；
（2）同理解答（2）（3）．

解答 解：（1）如图1，连结OD，OC，BD，

∵OD=OC=CD=2
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°
∴∠DBC=30°
∴∠EBD=30°
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°
∴∠E=90°-30⁰=60⁰
∠E的度数为60⁰；
（2）①如图2，直线AD，CB交于点E，连结OD，OC，AC．

∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EBD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠E=90°-30°=60°，
（3）如图3，连结OD，OC，

∵OD=OC=CD=2，
∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠CBD=30°，
∴∠ADB=90°，
∴∠BED=60°，
∴∠AEC=60°．

点评 本题考查的是圆周角定理及其推论、等边三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，利用直径所对的圆周角是直角进行解答．