Question

11．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，AC平分∠BAD，CD⊥AD于D，AD交⊙O于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为8cm，CD=2$\sqrt{3}$cm，求弦AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由等腰三角形的性质和角平分线得出∠2=∠3，证出∴OC∥AD，再由已知条件得出CD⊥OC，即可得出结论；
（2）作OF⊥AE于F，则AF=$\frac{1}{2}$AE，四边形OFDC是矩形，得出OF=CD=2$\sqrt{3}$cm，由勾股定理求出AF，即可得出AE的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥OC，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：作OF⊥AE于F，如图2所示：
则AF=$\frac{1}{2}$AE，四边形OFDC是矩形，
∴OF=CD=2$\sqrt{3}$cm，
∵OA=$\frac{1}{2}$AB=4cm，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴AE=2AF=4．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定和垂径定理是解决问题的关键．