Question

8．在△ABC中，D、E分别为BC、AB的中点，EG⊥AC于点G，EG、AD交于点F，若AG=4，BC=2$\sqrt{29}$，tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，则AC=12．

Answer 1

分析 设AC=2a，连接DE，过D作DH⊥AC于H，根据D、E分别为BC、AB的中点，于是得到DE=$\frac{1}{2}$AC=a，DE∥AC，CD=$\frac{1}{2}BC$=$\sqrt{29}$，根据已知条件tan∠DAC=$\frac{FG}{AG}=\frac{FG}{4}$=$\frac{1}{2}$，求得FG=2，通过△AGF∽△DFE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{DE}=\frac{FG}{EF}$，求得EF=$\frac{1}{2}$a，得到DH=EH=2+$\frac{1}{2}$a，HC=2a-4-a=a-4，根据勾股定理列方程$（\frac{1}{2}a+2）^{2}+（a-4）^{2}=29$，即可得到结论．

解答 解：设AC=2a，连接DE，过D作DH⊥AC于H，
∵D、E分别为BC、AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=a，DE∥AC，CD=$\frac{1}{2}BC$=$\sqrt{29}$，
∵tan∠DAC=$\frac{FG}{AG}=\frac{FG}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴FG=2，
∵DE∥AC，
∴△AGF∽△DFE，
∴$\frac{AG}{DE}=\frac{FG}{EF}$，
即$\frac{4}{a}=\frac{2}{EF}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$a，
∴DH=EH=2+$\frac{1}{2}$a，HC=2a-4-a=a-4，
在Rt△DHC中，
DH²+CH²=DC²，
即$（\frac{1}{2}a+2）^{2}+（a-4）^{2}=29$，
解得：a=6，a=-$\frac{6}{5}$（舍去），
∴AC=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，正确的周长辅助线是解题的关键．