Question

【题目】如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点D为AB中点，求OE的长；

（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）OE＝1；（3）点P为（4，﹣4）

【解析】

（1）根据非负数的性质，得出方程（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，求得m＝2，n＝4，即可得到A、B两点的坐标；

（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，构造全等三角形，再根据BG=BE=AF列出关于x的方程，即可求得OE的长；

（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），构造全等三角形，再根据F点的横坐标与纵坐标相等，得出方程m+2x﹣4＝m+x，解得：x=4，即可得到点P为（4，-4）．

解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，

∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，

∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，

∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，

∴m＝2，n＝4，

∴点A为（2，0），点B为（0，4）；

（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，

设OE＝x，

∵OC平分∠AOB，

∴∠BOC＝∠AOC＝45°，

∵DE∥OC，

∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，

∴OE＝OF＝x，

在△ADF和△BDG中 ，

∴△ADF≌△BDG（SAS），

∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，

∴∠G＝∠BEG＝45°

∴BG＝BE＝4﹣x

∴4﹣x＝2+x，

解得：x＝1，∴OE＝1；

（3）分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，

设点E为（0，m），

∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），

∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，

∵∠PEF＝90°，

∴∠PEN+∠FEM＝90°，

∵FM⊥y轴，

∴∠MFE+∠FEM＝90°，

∴∠PEN＝∠MFE，

在△EFM和△PEN中， ，

∴△EFM≌△PEN（AAS），

∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，

∴点F为（m+2x4，m+x），

∵F点的横坐标与纵坐标相等，

∴m+2x﹣4＝m+x，

解得：x＝4，

∴点P为（4，﹣4）．