Question

【题目】如图，已知一次函数的图像与轴交于点，一次函数的图像与轴交于点，且与轴以及一次函数的图像分别交于点、，点的坐标为.

（1）关于、的方程组的解为______________.

（2）关于的不等式的解集为__________________.

（3）求四边形的面积；

（4）在轴上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）点坐标为或.

【解析】

（1）把D（-2，m）代入y=x-2可得D的坐标．由图象可得结论；

（2）观察图象可得结论；

（3）过点D作DH⊥AB于H．根据S四边形OADC=SΔABD-SΔOBC计算即可；

（4）分三种情况讨论：①当点E为直角顶点时，过点D作DE1⊥x轴于E1，即可得出结论；

②当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；③当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD交x轴于点E2．设E2（t，0），利用勾股定理即可得出结论．

（1）∵D（-2，m）在y=x-2上，

∴m=-2-2=-4，

∴D（-2，-4）．

由图象可知：关于x、y的方程组的解为；

（2）由图象可知：关于x的不等式x-2≥4x+b的解集为x≤-2；

（3）如图1，过点D作DH⊥AB于H．

由（1）知D（-2，-4），

∴DH=2．

在y=x-2中，当x=0时，y=-2，

∴A（0，-2）．

把D（-2，-4）代入y=4x+b得：-4=4×（-2）+b，解得：b=4．

∴B（0，4），

∴直线BD的函数表达式为y=4x+4．

∴AB=4-（-2）=6，

∴SΔABD=ABDH=×6×2=6．

在y=4x+4中，当y=0时，0=4x+4，解得：x=-1．

∴C（-1，0），

∴OC=1．

∵B（0，4），

∴OB=4，

∴SΔOBC=OBOC=×4×1=2，

∴S四边形OADC=SΔABD-SΔOBC=6-2=4．

（4）如图2，①当点E为直角顶点时，过点D作DE1⊥x轴于E1．

∵D（-2，-4），

∴E1（-2，0）

②当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E．

③当点D为直角顶点时，过点D作DE2⊥CD交x轴于点E2．设E2（t，0）．

∵C（-1，0），E1（-2，0），

∴CE2=-1-t，E1E2=-2-t．

∵D（-2，-4），

∴DE1=4，CE1=-1-（-2）=1．

在中，由勾股定理得：．

在中，由勾股定理得：．

在中，由勾股定理得：．

∴（-1-t）2=t2+4t+20+17

解得：t=-18．

∴E2 （-18，0）．

综合上所述：点E坐标为（-2，0）或（-18，0）．