Question

【题目】是等边三角形，点在射线上，延长至，使.

（1）如图（1），当点为线段中点时，求证：.

（2）如图（2），当点在线段的延长线上时，还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析.

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，由等腰三角形“三线合一”的性质可得∠CBD=30°，由CD=AD，CD=CE可得CD=CE，即可得∠CDE=∠CED，利用三角形外角性质可得∠CED=30°，可得∠CBD=∠CED，即可证明DB=DE；

（2）如图，过点作的平行线交于，根据平行线的性质及等边三角形的性质可证明△CDF是等边三角形，可得CD=DF=CF，利用线段的和差关系可得BC=AC=EF，利用平角的定义可得=120°，利用SAS可证明，即可得DB=DE.

（1）∵是等边三角形

∴

∵点为线段的中点，

∴平分，

∴

∵

∴

∴

∵，

∴，，

∴∠CBD=∠CED，

∴；

（2）成立，理由如下：

如图，过点作的平行线交于，

∴，，

∵是等边三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

在和中，，

∴，

∴.