Question

【题目】如图，在中，，，，在边上，在线段上，，是等边三角形，边交边于点，边交边于点．

求证：；

当为何值时，以为圆心，以为半径的圆与相切？

设，五边形的面积为，求与之间的函数解析式（要求写出自变量的取值范围）；当为何值时，有最大值？并求的最大值．

Answer 1

【答案】证明见解析； 当时，以为圆心，以为半径的圆与相切； 当时，有最大值，最大值为．

【解析】

（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；

（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案；

（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△CNE的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．

∵，

∴，

∵是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

过点作，

∵以为圆心，以为半径的圆，则与相切，

∴，

设，

∵是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在中，，

解得：，

∴当时，以为圆心，以为半径的圆与相切；

过点作于，过点作于，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由得：，

∴，

∴，

∵是等边三角形且，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

当时，有最大值，最大值为．