Question

如图，点P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y=x，直线y=﹣x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论：

①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP²=2AP•PB；④S_△AOB=3S_△AOP；⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16．

其中正确结论的序号是　　　　　　．

Answer 1

　③④　．

 解：①由直线y=x，直线y=﹣x可知，它们的斜率的积=﹣≠﹣1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°错误；

②∵AB⊥x轴，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90°

∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB，

∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形；

③由直线的斜率可知：=，=1，

∴2（）=，

∴OP²=2AP•PB，故OP²=2AP•PB正确；

④设A（m，m），则B（m，﹣m），

∵△AOP的面积=OP•m=m•OP，△BOP的面积=OP•m=•OP，

∴S_△BOP=2S_△AOP，

∴S_△AOB=3S_△AOP，

故S_△AOB=3S_△AOP正确；

⑤t=2时，PA=×2=1，

PB=|﹣1×2|=2，

∴AB=PA+PB=1+2=3，

∴正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12；故当t=2时，正方形ABCD的周长是16错误；

故答案为③④．