Question

17．如图，P为正方形内一点，若PA：PB：PC=1：2：3，则∠APB的度数是（　　）

• A． 120°
• B． 135°
• C． 145°
• D． 150°

Answer 1

分析 利用PA：PB：PC=1：2：3可设PA=a，PB=2a，PC=3a，再根据正方形的性质得AB=BC，∠ABC=90°，则可把△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△BCQ，如图，根据旋转的性质得∠PBQ=90°，∠BQC=∠BPA，BP=BQ=2a，CQ=AP=a，则可判断△PBQ为等腰直角三角形，得到PQ=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$a，∠PQB=45°，然后在△PCQ中根据勾股定理的逆定理可证明△PCQ为直角三角形，∠PQC=90°，于是∠BQC=∠PQB+∠PQC=135°，所以∠APB=135°．

解答 解：由PA：PB：PC=1：2：3，可设PA=a，PB=2a，PC=3a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
把△ABP绕点B顺时针旋转90°可得到△BCQ，如图，
∴∠PBQ=90°，∠BQC=∠BPA，BP=BQ=2a，CQ=AP=a，
∴△PBQ为等腰直角三角形，
∴PQ=$\sqrt{2}$PB=2$\sqrt{2}$a，∠PQB=45°，
在△PCQ中，∵PQ=2$\sqrt{2}$a，CQ=a，PC=3a，
∴PQ²+CQ²=PC²，
∴△PCQ为直角三角形，∠PQC=90°，
∴∠BQC=∠PQB+∠PQC=45°+90°=135°，
∴∠APB=135°．
故选B．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理的逆定理和正方形的性质．